Points essentiels du cours pour la résolution des exercices
Définition de : valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre•
Matrices de passage, formules de changement de base, matrices carrées semblables•
Définition de la diagonalisabilité, d’une diagonalisation•
CNS de diagonalisabilité faisant intervenir la somme des sous-espaces propres•
CNS de diagonalisabilité faisant intervenir la somme des dimensions des sousespaces•
propres
Condition suffisante de diagonalisabilité : n valeurs propres deux à deux distinctes•
en dimension n
Polynômes d’endomorphisme, polynômes de matrice carrée, polynômes annulateurs•
d’un endomorphisme, polynômes annulateurs d’une matrice carrée
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable•
Lien entre les diagonalisabilités de AB et de BA
∗Soient n ∈ N
A, B ∈ Mn(R) telles que AB soit diagonalisable
Montrer que, si A ou B est inversible, alors BA est diagonalisable -
? Le résultat précédent est-il valable sans l’hypothèse d’inversibilité -
f ◦ g et g ◦ f ont les mêmes valeurs propres
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, f, g ∈ L(E). Montrer que f ◦ g et g ◦ f ont les
mêmes valeurs propres
CNS pour que α2 soit valeur propre de f 2
(Soient E un espace vectoriel de dimension finie, α ∈ R, f ∈ L(E
Montrer : α2 est valeur propre de f 2 si et seulement si α ou −α est valeur propre de f
La linéarité de f est immédiate
Calculer les images par f des vecteurs de la base canonique
(B = (E1, E2, E3, E4) de M2(R
b) Remarquer que la matrice de f dans B est symétrique réelle
Remarquer que A est symétrique réelle
Calculer le rang de A, par exemple.
b) Pour déterminer les vp de A, étudier le rang de la matrice
A − λI3 selon les valeurs du réel λ
Déterminer les SEP de A par la définition
c) Utiliser la diagonalisation A = PDP−1 obtenue en b) pour calculer
PDP−1)n = PDnP−1)
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire