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lundi 29 mai 2017

2 Examens corrigés algèbre SMPC2 pdf







Points essentiels du cours pour la résolution des exercices
 Définition de : valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre•
 Matrices de passage, formules de changement de base, matrices carrées semblables•
 Définition de la diagonalisabilité, d’une diagonalisation•
 CNS de diagonalisabilité faisant intervenir la somme des sous-espaces propres•
 CNS de diagonalisabilité faisant intervenir la somme des dimensions des sousespaces•
propres
 Condition suffisante de diagonalisabilité : n valeurs propres deux à deux distinctes•
en dimension n
Polynômes d’endomorphisme, polynômes de matrice carrée, polynômes annulateurs•
d’un endomorphisme, polynômes annulateurs d’une matrice carrée
 Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable•








Lien entre les diagonalisabilités de AB et de BA
∗Soient n ∈ N
 A, B ∈ Mn(R) telles que AB soit diagonalisable
 Montrer que, si A ou B est inversible, alors BA est diagonalisable -  
? Le résultat précédent est-il valable sans l’hypothèse d’inversibilité -  
f ◦ g et g ◦ f ont les mêmes valeurs propres
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, f, g ∈ L(E). Montrer que f ◦ g et g ◦ f ont les
mêmes valeurs propres
CNS pour que α2 soit valeur propre de f 2
(Soient E un espace vectoriel de dimension finie, α ∈ R, f ∈ L(E
Montrer : α2 est valeur propre de f 2 si et seulement si α ou −α est valeur propre de f
La linéarité de f est immédiate
Calculer les images par f des vecteurs de la base canonique
(B = (E1, E2, E3, E4) de M2(R
b) Remarquer que la matrice de f dans B est symétrique réelle
Remarquer que A est symétrique réelle
Calculer le rang de A, par exemple.
b) Pour déterminer les vp de A, étudier le rang de la matrice
A − λI3 selon les valeurs du réel λ
Déterminer les SEP de A par la définition
c) Utiliser la diagonalisation A = PDP−1 obtenue en b) pour calculer
PDP−1)n = PDnP−1)


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